વિકલ સમીકરણ (3x^2-2xy)dy+(y^2-2xy)dx=0 નો વ્ય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(3x^2-2xy)dy+(y^2-2xy)dx=0$ પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy-y^2}{3x^2-2xy}$ આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y

Vedclass · Accepted Answer

$xy-x^2=cy^3$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(3x^2-2xy)dy+(y^2-2xy)dx=0$ પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy-y^2}{3x^2-2xy}$ આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y=vx$, તેથી $\frac{dy}{dx} = v+x\frac{dv}{dx}$. આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v+x\frac{dv}{dx} = \frac{2v-v^2}{3-2v}$ $x\frac{dv}{dx} = \frac{2v-v^2}{3-2v} - v = \frac{2v-v^2-3v+2v^2}{3-2v} = \frac{v^2-v}{3-2v}$ ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{3-2v}{v^2-v} dv = \frac{dx}{x}$ આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{3-2v}{v(v-1)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v-1} \Rightarrow 3-2v = A(v-1) + Bv$. $v=0$ માટે, $A=-3$. $v=1$ માટે, $B=-1$. તેથી, $\int (\frac{-3}{v} - \frac{1}{v-1}) dv = \int \frac{dx}{x}$ $-3\ln|v| - \ln|v-1| = \ln|x| + \ln|c|$ $\ln|v^3(v-1)|^{-1} = \ln|cx| \Rightarrow v^3(v-1) = \frac{1}{cx}$ $v=\frac{y}{x}$ મૂકતા: $(\frac{y}{x})^3(\frac{y}{x}-1) = \frac{1}{cx} \Rightarrow \frac{y^3(y-x)}{x^4} = \frac{1}{cx} \Rightarrow y^3(y-x) = \frac{x^3}{c}$ આમ, $xy-x^2=cy^3$ એ માંગેલ ઉકેલ છે.

વિકલ સમીકરણ $(3x^2-2xy)dy+(y^2-2xy)dx=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો:
$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} + \csc\left(\frac{y}{x}\right) = 0$; જ્યારે $x = 1$ ત્યારે $y = 0$.

બે પાસાને એકવાર ફેંકવામાં આવે છે,તો પ્રથમ પાસા પર $4$ આવે તે શરતે અંકોનો સરવાળો $7$ થી વધુ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે. જો છાપ અને કાંટ બંને મળે,તો બરાબર એક છાપ મળે તેની સંભાવના કેટલી?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - xy - y^2}{x^2 - y^2}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

સાબિત કરો કે $x^{2}-y^{2}=c(x^{2}+y^{2})^{2}$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^{3}-3xy^{2})dx=(y^{3}-3x^{2}y)dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ છે,જ્યાં $c$ એક પ્રાચલ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module