R त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित अधिकतम आय | vedclass

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Question

(C) माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और शंकु की त्रिज्या $r$ है। दिया गया है कि गोले की त्रिज्या $R$ है। $	riangle OPB$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $R^

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$\frac{4 R}{3}$

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(C) माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और शंकु की त्रिज्या $r$ है। दिया गया है कि गोले की त्रिज्या $R$ है। $	riangle OPB$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $R^2 = r^2 + (h - R)^2$ $\Rightarrow r^2 = R^2 - (h - R)^2 = R^2 - (h^2 - 2Rh + R^2) = 2Rh - h^2$. शंकु का आयतन $V$ इस प्रकार है: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2Rh - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)$. अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए, $V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2)$. क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर: $\frac{\pi}{3} h(4R - 3h) = 0$. चूँकि $h 
eq 0$, इसलिए $h = \frac{4R}{3}$ प्राप्त होता है। द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6h)$. $h = \frac{4R}{3}$ पर, $\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6(\frac{4R}{3})) = \frac{\pi}{3} (4R - 8R) = -\frac{4\pi R}{3} चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है, इसलिए $h = \frac{4R}{3}$ पर आयतन अधिकतम है।

$R$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित अधिकतम आयतन वाले शंकु की ऊँचाई क्या है?

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