સંકલન int_{frac{-1}{2}}^{frac{1}{2}} left([x] | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left([x] + \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) dx$. આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ:

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left([x] + \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) dx$. આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ: $I = \int_{\frac{-1}{2}}^{0} [x] dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} [x] dx + \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx$. ધારો કે $g(x) = \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$. તો $g(-x) = \log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \log_{e}\left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}\right) = -\log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = -g(x)$. આમ,$g(-x) = -g(x)$ હોવાથી,$g(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} g(x) dx = 0$. હવે,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ માટે: અંતરાલ $[-\frac{1}{2}, 0)$ માં,$[x] = -1$. અંતરાલ $[0, \frac{1}{2}]$ માં,$[x] = 0$. તેથી,$I = \int_{\frac{-1}{2}}^{0} (-1) dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} (0) dx + 0$. $I = [-x]_{\frac{-1}{2}}^{0} = -(0 - (-\frac{1}{2})) = -\frac{1}{2}$.

સંકલન $\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left([x] + \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) dx$,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તેની કિંમત શું થાય?

Similar Questions

જો $\int_{-1}^4 f(x) dx = 4$ અને $\int_2^4 (3 - f(x)) dx = 7$ હોય,તો $\int_{-1}^2 f(x) dx = $

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi / 2} \log |\tan x+\cot x| \, dx=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module