अवकल समीकरण sin y left(frac{d y}{d x}right) = | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin y \frac{d y}{d x} = \cos y (1 - x \cos y)$.दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $\sin y \frac{d y}{d x} = \cos y - x \cos^2 y

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$e^{-x}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin y \frac{d y}{d x} = \cos y (1 - x \cos y)$.दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $\sin y \frac{d y}{d x} = \cos y - x \cos^2 y$.दोनों पक्षों को $\cos^2 y$ से विभाजित करने पर: $\frac{\sin y}{\cos^2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos y} - x$.यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\sec y 	an y \frac{d y}{d x} = \sec y - x$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sec y 	an y \frac{d y}{d x} - \sec y = -x$.माना $v = \sec y$. तब $\frac{d v}{d x} = \sec y 	an y \frac{d y}{d x}$.समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d v}{d x} - v = -x$.यह $\frac{d v}{d x} + P(x)v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -1$.समाकलन गुणक ($I$.$F$.) = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$.

अवकल समीकरण $\sin y \left(\frac{d y}{d x}\right) = \cos y (1 - x \cos y)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए कि $x = x(y)$ अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0, y > 1, x(e) = e$ का हल है। तो $x(e^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$ का हल ज्ञात कीजिए।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $e^{y}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)=e^{x}$ का हल है,जहाँ $y(0)=0,$ तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y \ln y}{x} = \frac{y(\ln y)^2}{x^2}$ का व्यापक हल (जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है) ज्ञात कीजिए:

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