अवकल समीकरण (1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0 | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर,$(x+x^{3})dy = -(1+y(1+x^{2}))dx$ प्राप्त होता है। $dx(x+x^{

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$x$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर,$(x+x^{3})dy = -(1+y(1+x^{2}))dx$ प्राप्त होता है। $dx(x+x^{3})$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y(1+x^{2})}{x(1+x^{2})}$ प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(1+x^{2})} - \frac{y(1+x^{2})}{x(1+x^{2})}$ मिलता है। अतः,$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{1}{x}\right)y = -\frac{1}{x(1+x^{2})}$। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = -\frac{1}{x(1+x^{2})}$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$ द्वारा प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

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$\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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