વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $f:[1, \infty) \rightarrow [2, \infty)$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(1)=2$. જો $6 \int_1^x f(t) dt = 3x f(x) - x^3$ એ દરેક $x \geq 1$ માટે સત્ય હોય,તો $f(2)$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણ $(1+y+x^2 y) dx+(x+x^3) dy=0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $(1+e^{2x})(\frac{dy}{dx}+y)=1$ નો ઉકેલ વક્ર $y=y(x)$ એ બિંદુ $(0, \frac{\pi}{2})$ માંથી પસાર થાય છે. તો,$\lim_{x \rightarrow \infty} e^{x} y(x)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ માં એક વિકલનીય વિધેય છે, જેથી $y(1)=2$ અને દરેક $x>0$ માટે $\lim_{t \rightarrow x} \left( \frac{t^{2}y(x)-x^{2}y(t)}{x-t} \right) = 3$ થાય છે. તો $2y(2)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y(x)$ એ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy - 4x^{2} = 0$ અને $y(0) = -1$ નો ઉકેલ છે. તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો.