अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + 2y = x^2 (x neq | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है।समीकरण को $x$ से विभाजित करने पर यह रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(

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$x^2$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है।समीकरण को $x$ से विभाजित करने पर यह रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में परिवर्तित हो जाता है:$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$.यहाँ, $P(x) = \frac{2}{x}$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P(x) dx}$ होता है।अतः, $IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log |x|} = e^{\log |x^2|} = x^2$ (चूंकि $x 
eq 0$ के लिए $x^2 > 0$ होता है)।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ $(x \neq 0)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

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मान लीजिए कि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ का हल है,जहाँ $y(0) = 0$ है। यदि $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sin 2x$ और $y(0) = 1$ है,तो $y(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $(x + y) \frac{dy}{dx} = 1$ का व्यापक हल है

$x \frac{dy}{dx} - y = x^4 - 3x$ का समाकलन गुणक (Integrating factor) है

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{1+x^{2}}$; जब $x=1$ तो $y=0$ है।

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