दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला एक विशिष्ट हल | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1+x^{2}\right) \frac{dy}{dx}+2 xy=\frac{1}{1+x^{2}}$ है।$\left(1+x^{2}\right)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}+\fra

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$y\left(1+x^{2}ight)=	an ^{-1} x-\frac{\pi}{4}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1+x^{2}ight) \frac{dy}{dx}+2 xy=\frac{1}{1+x^{2}}$ है।$\left(1+x^{2}ight)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}+\frac{2x}{1+x^{2}}y=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=\frac{2x}{1+x^{2}}$ और $Q=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^{2}} dx} = e^{\ln(1+x^{2})} = 1+x^{2}$ है।सामान्य हल $y(I.F.) = \int (Q 	imes I.F.) dx + C$ है।$y(1+x^{2}) = \int \left(\frac{1}{(1+x^{2})^{2}} \cdot (1+x^{2})ight) dx + C$.$y(1+x^{2}) = \int \frac{1}{1+x^{2}} dx + C$.$y(1+x^{2}) = 	an^{-1} x + C$ --- $(1)$.दिया है कि $x=1$ पर $y=0$,इन मानों को $(1)$ में रखने पर:$0(1+1^{2}) = 	an^{-1}(1) + C \Rightarrow 0 = \frac{\pi}{4} + C \Rightarrow C = -\frac{\pi}{4}$.$C$ का मान $(1)$ में रखने पर,विशिष्ट हल $y(1+x^{2}) = 	an^{-1} x - \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

सूची $I$ (अवकल समीकरण)	सूची $II$ (समाकलन गुणक)
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2$	$(1)$ $x^3$
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6$	$(2)$ $(x^3+1)^2$
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2$	$(3)$ $(x^2+1)^2$
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x$	$(4)$ $x^2+1$
	$(5)$ $(x^3+1)^{1/3}$
	$(6)$ $(x^3+1)^{1/2}$

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{1+x^{2}}$; जब $x=1$ तो $y=0$ है।

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अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है

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