माना F:[3,5] rightarrow R अंतराल (3,5) पर एक | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $F(x) = e^{-x} \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$. ध्यान दें कि $F(3) = 0$.दोनों पक्षों को $e^{x}$ से गुणा करने पर: $e^{x}F

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$16$

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(B) दिया गया है $F(x) = e^{-x} \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$. ध्यान दें कि $F(3) = 0$.दोनों पक्षों को $e^{x}$ से गुणा करने पर: $e^{x}F(x) = \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$.लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$e^{x}F(x) + e^{x}F^{\prime}(x) = 3x^{2}+2x+4F^{\prime}(x)$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(e^{x}-4)F^{\prime}(x) + e^{x}F(x) = 3x^{2}+2x$.यह $\frac{d}{dx} [F(x)(e^{x}-4)] = 3x^{2}+2x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $F(x)(e^{x}-4) = \int (3x^{2}+2x) \,dx = x^{3}+x^{2}+C$.चूंकि $F(3) = 0$,इसलिए $0 = 3^{3}+3^{2}+C \Rightarrow C = -36$.अतः,$F(x) = \frac{x^{3}+x^{2}-36}{e^{x}-4}$.अब,$F^{\prime}(x) = \frac{(3x^{2}+2x)(e^{x}-4) - (x^{3}+x^{2}-36)e^{x}}{(e^{x}-4)^{2}}$.$x=4$ पर: $F^{\prime}(4) = \frac{(3(16)+2(4))(e^{4}-4) - (64+16-36)e^{4}}{(e^{4}-4)^{2}} = \frac{56(e^{4}-4) - 44e^{4}}{(e^{4}-4)^{2}} = \frac{12e^{4}-224}{(e^{4}-4)^{2}}$.$\frac{\alpha e^{\beta}-224}{(e^{\beta}-4)^{2}}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha=12$ और $\beta=4$ प्राप्त होता है।इसलिए,$\alpha+\beta = 12+4 = 16$.

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