ધારો કે F:[3,5] rightarrow R એ (3,5) પર બે વા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $F(x) = e^{-x} \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$. નોંધો કે $F(3) = 0$.બંને બાજુ $e^{x}$ વડે ગુણતા: $e^{x}F(x) = \int_{3}^{x

Vedclass · Accepted Answer

$16$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $F(x) = e^{-x} \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$. નોંધો કે $F(3) = 0$.બંને બાજુ $e^{x}$ વડે ગુણતા: $e^{x}F(x) = \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$.લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$e^{x}F(x) + e^{x}F^{\prime}(x) = 3x^{2}+2x+4F^{\prime}(x)$.પદોને ગોઠવતા: $(e^{x}-4)F^{\prime}(x) + e^{x}F(x) = 3x^{2}+2x$.આ $\frac{d}{dx} [F(x)(e^{x}-4)] = 3x^{2}+2x$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $F(x)(e^{x}-4) = \int (3x^{2}+2x) \,dx = x^{3}+x^{2}+C$.$F(3) = 0$ હોવાથી,$0 = 3^{3}+3^{2}+C \Rightarrow C = -36$.આમ,$F(x) = \frac{x^{3}+x^{2}-36}{e^{x}-4}$.હવે,$F^{\prime}(x) = \frac{(3x^{2}+2x)(e^{x}-4) - (x^{3}+x^{2}-36)e^{x}}{(e^{x}-4)^{2}}$.$x=4$ માટે: $F^{\prime}(4) = \frac{(3(16)+2(4))(e^{4}-4) - (64+16-36)e^{4}}{(e^{4}-4)^{2}} = \frac{56(e^{4}-4) - 44e^{4}}{(e^{4}-4)^{2}} = \frac{12e^{4}-224}{(e^{4}-4)^{2}}$.$\frac{\alpha e^{\beta}-224}{(e^{\beta}-4)^{2}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha=12$ અને $\beta=4$ મળે છે.તેથી,$\alpha+\beta = 12+4 = 16$.

Similar Questions

$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}-y=\cos x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 3(\tan^2 x + 1)y = \sec^2 x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં પ્રારંભિક શરત $y(0) = \frac{1}{3} + e^3$ છે. તો $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha x = \exp(x^\beta y^\gamma)$ એ વિકલ સમીકરણ $2x^2 y \frac{dy}{dx} - (1 - xy^2) = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x > 0$ અને $y(2) = \sqrt{\log_e 2}$ છે. તો $\alpha + \beta - \gamma$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module