$7^{300}$ માં છેલ્લો અંક કયો છે?

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(1+2x)^{6}(1-x)^{7}$ ના ગુણાકારમાં $x^{5}$ નો સહગુણક શોધો.

વિધાન $(A)$: જો $a_1, a_2, \ldots, a_n$ એ સમીકરણ $x^n-2=0$ ના $n$ ભિન્ન બીજ હોય, તો $1+\left(1-a_1\right)\left(1-a_2\right) \ldots\left(1-a_n\right)=0$ થાય.
કારણ $(R)$: જો $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ એ $f(x) \equiv p_0 x^n+p_1 x^{n-1}+\ldots+p_n=0$ ના બીજ હોય, તો $f(g(x))=0$ ના બીજ $g^{-1}(\alpha_i)$ થાય, જ્યાં $i=1, 2, \ldots, n$.
નીચેનામાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:

$(1+x)^{1000} + x(1+x)^{999} + x^2(1+x)^{998} + \ldots + x^{1000}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{50}$ નો સહગુણક શોધો.

જો $a$ અને $b$ ભિન્ન પૂર્ણાંકો હોય,તો સાબિત કરો કે $a-b$ એ $a^{n}-b^{n}$ નો અવયવ છે,જ્યાં $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે.

$(1+x)^{500} + x(1+x)^{499} + x^2(1+x)^{498} + \ldots + x^{500}$ માં $x^{301}$ નો સહગુણક શું છે?