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Question

(A) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} (7^{1/3})^{n-r} (11^{1/12})^{r} = {}^{n}C_{r} 7^{(n-r)/3} 11^{r/12}$ है।पद के पूर्णांक होने के लिए,घा

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$2184$

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(A) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} (7^{1/3})^{n-r} (11^{1/12})^{r} = {}^{n}C_{r} 7^{(n-r)/3} 11^{r/12}$ है।पद के पूर्णांक होने के लिए,घातांक $\frac{n-r}{3}$ और $\frac{r}{12}$ दोनों पूर्णांक होने चाहिए।इसका अर्थ है कि $r$,$12$ का गुणज होना चाहिए,अतः $r \in \{0, 12, 24, \dots, 12k\}$।साथ ही,$n-r$,$3$ का गुणज होना चाहिए। चूँकि $r$,$12$ का गुणज है,यह $3$ का भी गुणज है,जिससे पता चलता है कि $n$ भी $3$ का गुणज होना चाहिए।यहाँ $183$ पूर्णांक पद हैं,इसलिए $r$ के मान $0, 12, 24, \dots, 12 	imes 182$ होंगे।$r$ का अधिकतम मान $12 	imes 182 = 2184$ है।चूँकि $r \le n$,$183$ पद प्राप्त करने के लिए $n$ का न्यूनतम मान $n = 2184$ है।

$n$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $(\sqrt[3]{7}+\sqrt[12]{11})^{n}$ के द्विपद विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या $183$ है:

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यदि $\left( t^{2} x^{\frac{1}{5}} + \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{15}$,$x \geq 0$ के विस्तार में $t$ से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $K$ है,तो $8K$ का मान $....$ है।

यदि $(x^{2}+\frac{1}{bx})^{11}$ में $x^{7}$ का गुणांक और $(x-\frac{1}{bx^{2}})^{11}$ में $x^{-7}$ का गुणांक समान हैं,जहाँ $b \neq 0$,तो $b$ का मान ज्ञात कीजिए:

$(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में मध्य पद क्या है?

$(1 + x + 2x^3) \left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद का गुणांक ज्ञात कीजिए।

$(1-x)^{100}$ के द्विपद विस्तार में पहले $50$ पदों के गुणांकों का योग किसके बराबर है?

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