शीर्षों $A(4,7,8)$,$B(2,3,4)$ और $C(2,5,7)$ वाले $\triangle ABC$ में कोण $A$ के आंतरिक समद्विभाजक की लंबाई ज्ञात कीजिए।

$a \neq 0$ के लिए,यदि एक बिंदु $P(x, y, z)$ की बिंदुओं $F_1(a, 0, 0)$ और $F_2(-a, 0, 0)$ से दूरियों का योग एक स्थिरांक $2k$ है,तो उस बिंदु का बिंदुपथ क्या है?

$AB$ और $BC$ एक आयताकार बक्से के आसन्न फलकों के विकर्ण हैं,जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और जिसके किनारे निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं। यदि कोण $\angle BOC, \angle COA$ और $\angle AOB$ क्रमशः $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं,तो $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$ का मान क्या है?

चतुष्फलक $ABCD$ की भुजाओं की लंबाई $AB = CD = 12$ है। ये किनारे एक-दूसरे के लंबवत हैं। मान लीजिए $E$ और $F$ क्रमशः $AB$ और $CD$ के मध्य बिंदु हैं। यदि $EF = 10$ है और यह $AB$ और $CD$ दोनों के लंबवत है,तो चतुष्फलक $ABCD$ का आयतन ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A=(1,2,0)$, $B=(2,0,-1)$, $C=(0,-2,3)$ और $D=(-1,2,-3)$ अंतरिक्ष में चार बिंदु हैं। मान लीजिए $G_1$ त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक है और $G_2$ चतुष्फलक $ABCD$ का केंद्रक है। यदि $P$, $G_1G_2$ को $4:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, तो $P=$

$k$ के उन मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए बिंदु $A(-4, 9, k)$, $B(-1, 6, k)$, और $C(0, 7, 10)$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं: