दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ के नाभिलंब की लंबाई $\frac{8}{3}$ है। यदि दीर्घवृत्त के केंद्र से उसकी नाभि की दूरी $\sqrt{5}$ है,तो $\sqrt{a^2 + 6ab + b^2} =$

एक दीर्घवृत्त की मुख्य और लघु अक्ष की लंबाई क्रमशः $6$ और $2$ है। यदि केंद्र $(5,6)$ पर है और मुख्य अक्ष $x-y+1=0$ के अनुदिश है,तो दीर्घवृत्त का समीकरण क्या है?

यदि नियताओं (directrices) के बीच की दूरी नाभियों (foci) के बीच की दूरी की तीन गुनी है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता (eccentricity) है

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{27} + y^2 = 1$ पर बिंदु $(3\sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ (जहाँ $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$) पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है। तो $\theta$ का वह मान क्या है जिसके लिए इस स्पर्श रेखा द्वारा अक्षों पर बनाए गए अंतःखंडों का योग न्यूनतम है?

माना दीर्घवृत्त $E_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ और $E_2: \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1, A < B$ की उत्केंद्रता समान $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। यदि उनके नाभिलंब की लंबाई का गुणनफल $\frac{32}{\sqrt{3}}$ है,और $E_1$ की नाभियों के बीच की दूरी $4$ है। यदि $E_1$ और $E_2$ बिंदु $A, B, C$ और $D$ पर मिलते हैं,तो चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल क्या होगा?

मान लीजिए कि रेखा $y=mx$ और दीर्घवृत्त $2x^{2}+y^{2}=1$ प्रथम चतुर्थांश में एक बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि इस दीर्घवृत्त के बिंदु $P$ पर अभिलंब निर्देशांक अक्षों को $(-\frac{1}{3\sqrt{2}}, 0)$ और $(0, \beta)$ पर मिलता है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।