उन वृत्तों के केंद्रों का बिंदुपथ क्या है,जो वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,$y$-अक्ष को स्पर्श करते हैं और प्रथम चतुर्थांश में स्थित हैं?

माना $A=(2,0)$ और $B=(0,-2)$ हैं। माना $P$ कोई ऐसा बिंदु है कि $P$ की $A$ और $B$ से दूरियों का योग $4$ है। तो बिंदु $P$ के बिंदुपथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

वृत्त $x^2+y^2=16$ की उन जीवाओं के मध्य-बिंदुओं का बिंदुपथ,जो अतिपरवलय $9x^2-16y^2=144$ को स्पर्श करती हैं,है

माना फलन $f(x) = 2x^{2} - \log_{e} x$,$x > 0$,अंतराल $(0, a)$ में ह्रासमान है और $(a, 4)$ में वर्धमान है। परवलय $y^{2} = 4ax$ के एक बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदु $(8a, 8a - 1)$ से होकर गुजरती है लेकिन बिंदु $(-\frac{1}{a}, 0)$ से होकर नहीं गुजरती है। यदि $P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

वृत्त $x^2+y^2=10$ पर खींची गई लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ क्या है?

मान लीजिए $S = 0$ एक चर वृत्त के केंद्र का बिंदु पथ है जो वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ को बिंदु $(4, 6)$ पर लंबकोणीय प्रतिच्छेद करता है। यदि $P$,$S = 0$ पर एक चर बिंदु है,तो $OP$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $O$ मूल बिंदु है)।