$0 \leq x \leq 1$ के लिए $[x(x-1)+1]^{\frac{1}{3}}$ का अधिकतम मान क्या है?

मान लीजिए कि फलन $f(x)=2 x^3+(2 p-7) x^2+3(2 p-9) x-6$ का $x < 0$ के किसी मान के लिए उच्चिष्ठ (maxima) और $x > 0$ के किसी मान के लिए निम्निष्ठ (minima) है। तो,$p$ के सभी मानों का समुच्चय $......$ है।

एक धात्विक डिस्क से एक त्रिज्यखंड (sector) हटा दिया जाता है और शेष भाग को $2 \sqrt{3} \pi$ आयतन वाले शंक्वाकार कीप (conical funnel) के आकार में मोड़ा जाता है। डिस्क का न्यूनतम संभव व्यास है

मान लीजिए $V_1$ एक दिए गए लंबवृत्तीय शंकु का आयतन है,जिसका आधार केंद्र $O$ है और शीर्ष $A$ है। मान लीजिए $V_2$ उस लंबवृत्तीय शंकु का अधिकतम आयतन है जो दिए गए शंकु के भीतर अंकित है,जिसका शीर्ष $O$ है और जिसका आधार दिए गए शंकु के आधार के समानांतर है। तब,अनुपात $V_2 / V_1$ है

अंतराल $[0, \pi]$ में फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x - \cos x)$ के निरपेक्ष अधिकतम और निरपेक्ष न्यूनतम मानों का योग क्या है?

एक खिड़की एक आयत के ऊपर बने अर्धवृत्ताकार भाग के रूप में है। खिड़की की कुल परिधि $10 \, m$ है। खिड़की से अधिकतम प्रकाश प्रवेश करने के लिए उसके आयाम ज्ञात कीजिए।