x in R માટે વિધેય f(x) = intlimits_0^1 {t,sin | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીને: $\int u dv = uv - \int v du$. ધારો કે $u = t$ અને $dv = \sin(x + \pi t) dt$. તેથી $du = dt$ અને $v = -\frac{1}{\pi} \co

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{{{\pi ^2}}}\sqrt {{\pi ^2} + 4} $

Vedclass · Answer

(B) ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીને: $\int u dv = uv - \int v du$. ધારો કે $u = t$ અને $dv = \sin(x + \pi t) dt$. તેથી $du = dt$ અને $v = -\frac{1}{\pi} \cos(x + \pi t)$.$f(x) = \left[ -\frac{t}{\pi} \cos(x + \pi t) \right]_0^1 + \frac{1}{\pi} \int_0^1 \cos(x + \pi t) dt$$f(x) = \left( -\frac{1}{\pi} \cos(x + \pi) - 0 \right) + \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{\pi} \sin(x + \pi t) \right]_0^1$$\cos(x + \pi) = -\cos x$ હોવાથી,$f(x) = \frac{1}{\pi} \cos x + \frac{1}{\pi^2} (\sin(x + \pi) - \sin x)$.$\sin(x + \pi) = -\sin x$ હોવાથી,$f(x) = \frac{1}{\pi} \cos x - \frac{2}{\pi^2} \sin x$.$a \cos x + b \sin x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.અહીં $a = \frac{1}{\pi}$ અને $b = -\frac{2}{\pi^2}$.$f(x)_{\max} = \sqrt{\left(\frac{1}{\pi}\right)^2 + \left(-\frac{2}{\pi^2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{\pi^2} + \frac{4}{\pi^4}} = \sqrt{\frac{\pi^2 + 4}{\pi^4}} = \frac{\sqrt{\pi^2 + 4}}{\pi^2}$.

$x \in R$ માટે વિધેય $f(x) = \int\limits_0^1 {t\,\sin \left( {x + \pi t} \right)} dt$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1+x^{2}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ $(x \geq 0)$ છે. તો $f(3) - f(1)$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \begin{cases} \sqrt{1 - x} & 0 \le x \le 1 \\ (7x - 6)^{-1/3} & 1 < x \le 2 \end{cases}$ હોય,તો $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int_{0}^{2} ||x-1|-x| dx$ ની કિંમત શોધો. ($.5$ માં)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module