एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं के मध्य-बिंदु $D, E, F$ क्रमशः $(3, 4), (8, 9)$ और $(6, 7)$ हैं। त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2),$ और $C(x_3, y_3)$ हैं। मध्य-बिंदु $AB$ पर $D(3, 4),$ $BC$ पर $E(8, 9)$ और $AC$ पर $F(6, 7)$ दिए गए हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए:
$1) \frac{x_1 + x_2}{2} = 3, \frac{y_1 + y_2}{2} = 4 \implies x_1 + x_2 = 6, y_1 + y_2 = 8$
$2) \frac{x_2 + x_3}{2} = 8, \frac{y_2 + y_3}{2} = 9 \implies x_2 + x_3 = 16, y_2 + y_3 = 18$
$3) \frac{x_1 + x_3}{2} = 6, \frac{y_1 + y_3}{2} = 7 \implies x_1 + x_3 = 12, y_1 + y_3 = 14$
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$(x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) + (x_1 + x_3) = 6 + 16 + 12 = 34 \implies 2(x_1 + x_2 + x_3) = 34 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 17$
$(y_1 + y_2) + (y_2 + y_3) + (y_1 + y_3) = 8 + 18 + 14 = 40 \implies 2(y_1 + y_2 + y_3) = 40 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 20$
प्रत्येक निर्देशांक के लिए हल करने पर:
$x_1 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_2 + x_3) = 17 - 16 = 1$
$x_2 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_3) = 17 - 12 = 5$
$x_3 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_2) = 17 - 6 = 11$
$y_1 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_2 + y_3) = 20 - 18 = 2$
$y_2 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_3) = 20 - 14 = 6$
$y_3 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_2) = 20 - 8 = 12$
अतः,त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 2), B(5, 6),$ और $C(11, 12)$ हैं।