x in [-1, 1] માટે (sin^{-1} x)^2 + (cos^{-1} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ થાય છે. આ કિંમત મૂકતા, $f(x)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{8}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ થાય છે. આ કિંમત મૂકતા, $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$ મળે. ધારો કે $u = \sin^{-1} x$ છે. કારણ કે $x \in [-1, 1]$, તેથી $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે. $f(u) = u^2 + (\frac{\pi}{2} - u)^2 = u^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi u + u^2 = 2u^2 - \pi u + \frac{\pi^2}{4}$ મળે. આ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે. ન્યૂનતમ કિંમત $u = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે. કારણ કે $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, ન્યૂનતમ કિંમત $f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})^2 - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = 2(\frac{\pi^2}{16}) - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$ થાય છે.

$x \in [-1, 1]$ માટે $(\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત છે:

Similar Questions

$\cos ^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{9 \pi}{10}-\sin \frac{9 \pi}{10}\right)\right\}$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan ^2(2)}-1}{\tan (2)}\right)-\cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan ^2\left(\frac{1}{2}\right)}+1}{\tan \left(\frac{1}{2}\right)}\right)$ ની કિંમત શોધો.

જો $y = \tan^{-1} \left( \frac{x^{1/3} + a^{1/3}}{1 - x^{1/3}a^{1/3}} \right)$ હોય,તો $\frac{dy}{dx} = $

$2 \tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(\csc^2 x)$ હોય,તો $x = $

સાબિત કરો કે $\frac{9 \pi}{8} - \frac{9}{4} \sin^{-1} \frac{1}{3} = \frac{9}{4} \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module