फलन f(x) = x log x का न्यूनतम मान है | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन: $f(x) = x \log x$ न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,पहले हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं: $f'(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1

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$-\frac{1}{e}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया फलन: $f(x) = x \log x$ न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,पहले हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं: $f'(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 = 1 + \log x$ क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर: $1 + \log x = 0 \Rightarrow \log x = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करते हैं: $f''(x) = \frac{d}{dx}(1 + \log x) = \frac{1}{x}$ $x = \frac{1}{e}$ पर $f''(x)$ का मान ज्ञात करने पर: $f''(\frac{1}{e}) = \frac{1}{1/e} = e > 0$ चूंकि $f''(\frac{1}{e}) > 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = \frac{1}{e}$ पर न्यूनतम है। न्यूनतम मान है: $f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(e^{-1}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e}$

फलन $f(x) = x \log x$ का न्यूनतम मान है

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