अंकों $0, 2, 3, 4, 6, 7$ का उपयोग करके बंद अंतराल $[2022, 4482]$ में आने वाली $4$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या है:

$1, 2, 3$ और $4$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई सात अंकों की ऐसी कितनी धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ हैं जिनके अंकों का योग $12$ है?

$PROPORTION$ शब्द के $4$ अक्षरों की व्यवस्था कितने तरीकों से की जा सकती है?

$(n + 1)$ सफेद और $(n + 1)$ काली गेंदें हैं,जिनमें प्रत्येक सेट को $1$ से $n + 1$ तक क्रमांकित किया गया है। गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि कोई भी दो आसन्न गेंदें एक ही रंग की न हों।

पाँच अलग-अलग रंगों की गेंदों को तीन अलग-अलग आकारों के बक्सों में रखा जाना है। गेंदों को बक्सों में रखने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि कोई भी बक्सा खाली न रहे।

$abc = 30$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या क्या है?