1, 2, 3 और 4 अंकों का उपयोग करके बनाई गई सात | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए कि सात अंक $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ हैं,जहाँ $x_i \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।हमें समीकरण $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7

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$413$

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(C) मान लीजिए कि सात अंक $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ हैं,जहाँ $x_i \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।हमें समीकरण $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 12$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।मान लीजिए $y_i = x_i - 1$,जहाँ $y_i \in \{0, 1, 2, 3\}$ है।$x_i = y_i + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(y_1 + 1) + (y_2 + 1) + \dots + (y_7 + 1) = 12$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 + y_7 = 5$ हो जाता है।इस समीकरण के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{5+7-1}{7-1} = \binom{11}{6} = 462$ है।हालाँकि,हमें $x_i \le 4$ की शर्त को पूरा करना होगा,जिसका अर्थ है $y_i \le 3$।हम 'Principle of Inclusion-Exclusion' का उपयोग करके उन मामलों को घटाएंगे जहाँ कम से कम एक $y_i \ge 4$ है।यदि एक $y_i \ge 4$ है,तो $y_i = z_i + 4$ लें। तब $z_i + 4 + \sum_{j 
eq i} y_j = 5$,अर्थात $z_i + \sum_{j 
eq i} y_j = 1$।एक निश्चित $i$ के लिए हलों की संख्या $\binom{1+7-1}{7-1} = \binom{7}{6} = 7$ है।चूँकि $i$ के लिए $7$ विकल्प हैं,हम $7 	imes 7 = 49$ घटाएंगे।अतः,कुल मान्य पूर्णांक संख्याएँ $462 - 49 = 413$ हैं।

$1, 2, 3$ और $4$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई सात अंकों की ऐसी कितनी धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ हैं जिनके अंकों का योग $12$ है?

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