${}^6P_4 + 4 \cdot {}^6P_3$ का मान $.......$ है।

छात्रों $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{10}$ को $3$ समूहों $A, B$ और $C$ में इस प्रकार विभाजित किया जाना है कि प्रत्येक समूह में कम से कम एक छात्र हो और समूह $C$ में अधिकतम $3$ छात्र हों। तो ऐसे समूहों को बनाने की कुल संभावनाओं की संख्या ........ है।

मान लीजिए $P_m$,$^nP_m$ को दर्शाता है। तो व्यंजक $1 \cdot P_1 + 2 \cdot P_2 + 3 \cdot P_3 + \dots + n \cdot P_n =$

$1000$ और $3000$ के बीच ऐसी संख्याएँ बनानी हैं,जो $4$ से विभाज्य हों,जिसमें अंकों $1, 2, 3, 4, 5$ और $6$ का उपयोग बिना दोहराव के किया गया हो। तो ऐसी कुल संख्याएँ कितनी हैं?

तीन अंकों की संख्या $\overline{abc}$ की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $b$ और $c$ का समांतर माध्य उनके गुणोत्तर माध्य के वर्ग के बराबर हो।

$'EXAMINATION'$ शब्द के ग्यारह अक्षरों से बनाए जा सकने वाले $4$ अक्षरों वाले शब्दों (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) की संख्या क्या है?