फलन f(x)=x के लिए अंतराल [2,5] पर लैग्रेंज के | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f(x) = x$ अंतराल $[2, 5]$ पर है।चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है, यह $[2, 5]$ पर सतत है और $(2, 5)$ पर अवकलनीय है।लैग्रेंज के माध्य मान

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अनंत

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(C) दिया गया फलन $f(x) = x$ अंतराल $[2, 5]$ पर है।चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है, यह $[2, 5]$ पर सतत है और $(2, 5)$ पर अवकलनीय है।लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार, $(2, 5)$ में कम से कम एक $C$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(C) = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2}$ हो।अवकलन करने पर: $f'(x) = 1$, अतः $f'(C) = 1$ प्राप्त होता है।ढाल की गणना करने पर: $\frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{5 - 2}{5 - 2} = \frac{3}{3} = 1$ प्राप्त होता है।इस प्रकार, शर्त $f'(C) = 1$ का अर्थ है $1 = 1$, जो $(2, 5)$ के प्रत्येक $C$ के लिए सत्य है।चूंकि अंतराल $(2, 5)$ में अनंत बिंदु होते हैं, इसलिए $C$ के अनंत स्वीकार्य मान संभव हैं।

फलन $f(x)=x$ के लिए अंतराल $[2,5]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को लागू करने पर प्राप्त $C$ के स्वीकार्य मानों की संख्या है

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यदि $f(x) = x^{\alpha} \log x, x > 0, f(0) = 0$ और $f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो $\alpha$ का मान क्या है?

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