समुच्चय {-1, 0, 1} से प्रविष्टियों वाले सभी 3 | vedclass

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Question

(B) माना $A = [a_{ij}]$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है जहाँ $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ है।$AA^{T}$ के विकर्ण तत्वों का योग $\operatorname{trace}(AA^{T})$ द्

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$672$

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(B) माना $A = [a_{ij}]$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है जहाँ $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ है।$AA^{T}$ के विकर्ण तत्वों का योग $\operatorname{trace}(AA^{T})$ द्वारा दिया जाता है।हम जानते हैं कि $\operatorname{trace}(AA^{T}) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}$।दिया गया है कि $\operatorname{trace}(AA^{T}) = 3$,इसलिए $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2} = 3$।चूँकि $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$,$a_{ij}^{2}$ केवल $0$ या $1$ हो सकता है।नौ वर्गों का योग $3$ होने के लिए,ठीक तीन प्रविष्टियाँ $a_{ij}$ का मान $\pm 1$ होना चाहिए और शेष छह प्रविष्टियाँ $0$ होनी चाहिए।सबसे पहले,हम $9$ स्थानों में से $3$ स्थान चुनते हैं,जिसे $\binom{9}{3}$ तरीकों से किया जा सकता है।फिर,इन $3$ चुने गए स्थानों में से प्रत्येक के लिए,प्रविष्टि $1$ या $-1$ हो सकती है,जो $2^{3}$ संभावनाएँ देती है।अतः,ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $\binom{9}{3} 	imes 2^{3} = \frac{9 	imes 8 	imes 7}{3 	imes 2 	imes 1} 	imes 8 = 84 	imes 8 = 672$ है।

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