ગણ {-1, 0, 1} માંથી ઘટકો ધરાવતા તમામ 3 times | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 	imes 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ છે.$AA^{T}$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\operatorname{trace}(AA^{T})

Vedclass · Accepted Answer

$672$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 	imes 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ છે.$AA^{T}$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\operatorname{trace}(AA^{T})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{trace}(AA^{T}) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}$.આપેલ છે કે $\operatorname{trace}(AA^{T}) = 3$,તેથી $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2} = 3$.કારણ કે $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$,$a_{ij}^{2}$ માત્ર $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે.નવ ઘટકોના વર્ગોનો સરવાળો $3$ થવા માટે,બરાબર ત્રણ ઘટકો $a_{ij}$ એ $\pm 1$ હોવા જોઈએ અને બાકીના છ ઘટકો $0$ હોવા જોઈએ.પ્રથમ,આપણે $9$ માંથી $3$ સ્થાન પસંદ કરીએ છીએ જે $\binom{9}{3}$ રીતે કરી શકાય.ત્યારબાદ,આ $3$ પસંદ કરેલા સ્થાન માટે,દરેક ઘટક $1$ અથવા $-1$ હોઈ શકે છે,જે $2^{3}$ શક્યતાઓ આપે છે.તેથી,આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $\binom{9}{3} 	imes 2^{3} = \frac{9 	imes 8 	imes 7}{3 	imes 2 	imes 1} 	imes 8 = 84 	imes 8 = 672$ છે.

ગણ $\{-1, 0, 1\}$ માંથી ઘટકો ધરાવતા તમામ $3 \times 3$ શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા શોધો,જેથી $AA^{T}$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $3$ થાય.

Similar Questions

જો શ્રેણિક $A$ સંમિત અને વિસંમિત બંને હોય,તો

$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = [a_{ij}]$ ની રચના કરો,જેના ઘટકો $a_{ij} = \frac{(i + 2j)^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યા છે.

$A$ અને $B$ બે આપેલા શ્રેણિકો છે જેથી $A$ નો ક્રમ $3 \times 4$ છે. જો $A'B$ અને $BA'$ બંને વ્યાખ્યાયિત હોય,તો:

જો $2X + \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$ હોય,તો શ્રેણિક $X$ શું હશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module