$ACCOMMODATION$ शब्द के अक्षरों से $4$ अक्षरों के सभी संभावित संयोजनों की संख्या क्या है?

एक पूर्णांक $n$ और उसके घन $n^3$ के बीच का अंतर हमेशा निम्नलिखित में से किससे विभाज्य होता है?

मान लीजिए $a_1, a_2, \ldots, a_n$ $n$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,जिनमें से $p$ धनात्मक हैं और शेष ऋणात्मक हैं। $j < k$ के साथ उन क्रमित युग्मों $(j, k)$ की संख्या,जिनके लिए $a_j a_k$ धनात्मक है,$55$ है। इसी प्रकार,$j < k$ के साथ उन क्रमित युग्मों $(j, k)$ की संख्या,जिनके लिए $a_j a_k$ ऋणात्मक है,$50$ है। तो,$p^2 + (n-p)^2$ का मान है

$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से,$4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके एक शेल्फ पर एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या है:

मान लीजिए $S$ उन सभी सात-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है जिन्हें $0, 1$ और $2$ अंकों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए,$2210222$ समुच्चय $S$ में है,लेकिन $0210222$ समुच्चय $S$ में नहीं है। तो $S$ में ऐसे अवयवों $x$ की संख्या,जिनमें $0$ और $1$ अंकों में से कम से कम एक अंक ठीक दो बार आता है,वह $....$ के बराबर है।

यदि कुछ $m, n$ के लिए,${ }^6 C_{m}+2({ }^6 C_{m+1})+{ }^6 C_{m+2} > { }^8 C_3$ और ${ }^{n-1} P_3 : { }^n P_4 = 1 : 8$ है,तो ${ }^n P_{m+1} + { }^{n+1} C_m$ का मान ज्ञात कीजिए।