$y - x = 0$ રેખા અને $y$-અક્ષને સ્પર્શતા વર્તુળોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$,$\beta > 0$ છે,જે વર્તુળ $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ને બહારથી સ્પર્શે છે અને $x$-અક્ષને પણ સ્પર્શે છે,તેનો બિંદુપથ $L$ છે. તો $L$ અને રેખા $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$(a \cos \theta, a \sin \theta)$,$(b \sin \theta, -b \cos \theta)$ અને $(1, 0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ શોધો (જ્યાં $\theta$ એક પ્રાચલ છે).

એક વર્તુળ $x$-અક્ષ પર $4a$ લંબાઈની જીવા કાપે છે અને $y$-અક્ષ પરના ઉગમબિંદુથી $2b$ અંતરે આવેલા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તો આ વર્તુળના કેન્દ્રનો બિંદુપથ શું છે?

એક બિંદુ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેનું ઉગમબિંદુથી અંતર હંમેશા $4$ રહે છે. તો તે બિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

$\triangle ABC$ ની બાજુ $AB$ નિશ્ચિત છે અને તેની લંબાઈ $2a$ એકમ છે. શિરોબિંદુ $C$ સમતલમાં એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી શિરોબિંદુનો ખૂણો $\angle ACB$ હંમેશા અચળ રહે અને તે $\alpha$ હોય. ધારો કે $x$-અક્ષ $AB$ પર છે અને ઉગમબિંદુ $A$ પર છે. તો શિરોબિંદુ $C$ નો બિંદુપથ શું છે?