વર્તુળો $x^2+y^2+4x=0$ અને $x^2+y^2-2x=0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $x^2+y^2-a^2+\lambda(x \cos \alpha+y \sin \alpha-p)=0$ એ $x^2+y^2=a^2$ અને $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતું સૌથી નાનું વર્તુળ હોય,જ્યાં $0 < p < a$,તો $\lambda=$

$5$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $(5,5)$ બિંદુએ $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ વર્તુળને સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

$x^2+y^2-4x-4y+3=0$,$x^2+y^2+4x-4y+3=0$ અને $x^2+y^2+4x+4y+3=0$ ત્રણેય વર્તુળોને લંબચ્છેદી હોય તેવા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

જો ઉપવલયો $x^{2}+2y^{2}-6x-12y+23=0$ અને $4x^{2}+2y^{2}-20x-12y+35=0$ ના છેદબિંદુઓ $r$ ત્રિજ્યા અને $(a, b)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલા હોય, તો $ab+18r^{2}$ ની કિંમત શોધો.

જો બે વર્તુળો $x^2+y^2+\alpha_1(x-y)+c=0$ અને $x^2+y^2+\alpha_2(x-y)+c=0$ પૈકી એક બીજાની અંદર આવેલું હોય,તો (જ્યાં $\alpha_1, \alpha_2 \in R, \alpha_1 \neq \alpha_2$):