अंतराल -frac{pi}{4} leq x leq frac{pi}{4} में | vedclass

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Question

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll} \sin x & \cos x & \cos x \ \cos x & \sin x & \cos x \ \cos x & \cos x & \sin x \end{array}ig

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$1$

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(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll} \sin x & \cos x & \cos x \ \cos x & \sin x & \cos x \ \cos x & \cos x & \sin x \end{array}ight|=0$. पंक्ति संक्रियाओं $R_{1} ightarrow R_{1}-R_{2}$ और $R_{2} ightarrow R_{2}-R_{3}$ को लागू करने पर: $\left|\begin{array}{ccc} \sin x-\cos x & \cos x-\sin x & 0 \ 0 & \sin x-\cos x & \cos x-\sin x \ \cos x & \cos x & \sin x \end{array}ight|=0$. $R_{1}$ और $R_{2}$ से $(\sin x-\cos x)$ उभयनिष्ठ लेने पर: $(\sin x-\cos x)^{2} \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \ 0 & 1 & -1 \ \cos x & \cos x & \sin x \end{array}ight|=0$. सारणिक का विस्तार करने पर: $(\sin x-\cos x)^{2} [1(\sin x + \cos x) + 1(0 + \cos x)] = 0$. $(\sin x-\cos x)^{2} (\sin x + 2 \cos x) = 0$. इसका अर्थ है $\sin x = \cos x$ या $\sin x = -2 \cos x$. स्थिति $1$: $	an x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}$. यह मान अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ में स्थित है। स्थिति $2$: $	an x = -2$. अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ में $	an x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है। चूँकि $-2$ इस सीमा से बाहर है,इसलिए इस अंतराल में $	an x = -2$ का कोई हल नहीं है। अतः,केवल $1$ भिन्न वास्तविक मूल है,जो $x = \frac{\pi}{4}$ है।

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यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) $3$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2\cos^2 2x & \sin 2x & -\sin x \\ \sin 2x & 2\sin^2 x & \cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$ है,तो $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f'(x) \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left| \begin{array}{ccc} 1 + ax & 1 + bx & 1 + cx \\ 1 + a_1x & 1 + b_1x & 1 + c_1x \\ 1 + a_2x & 1 + b_2x & 1 + c_2x \end{array} \right| = A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3$ है,तो $A_1$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित आव्यूह $A$ की कोटि (rank) ज्ञात कीजिए:
$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 2 & 9 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 10 & -3 \\ 1 & 11 & -1 & 9 \end{bmatrix}$

यदि $A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ x^2+1 & 2x^2+1 & 3x^2+1 \end{array} \right|$ है, तो $\int_0^1 A(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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