અંતરાલ $-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ માં $\left|\begin{array}{lll}\sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}\right|=0$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & k-1 \\ 0 & 0 & k-1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $k \in R$. તો $k$ ની એવી કિંમત,જો અસ્તિત્વ ધરાવતી હોય,જેના માટે $A$ નો શ્રેણિક (rank) $2$ થાય,તે છે

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos^2 x & \sin 2x & \sin x \\ \sin 2x & 2 \sin^2 x & -\cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$ હોય, તો $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2|f(x)| + 5f'(x)) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ \sqrt{4040} & \sqrt{4042} & \sqrt{4044} & \sqrt{4046} \\ \sqrt{6060} & \sqrt{6063} & \sqrt{6066} & \sqrt{6069} \\ \sqrt{8080} & \sqrt{8084} & \sqrt{8088} & \sqrt{8092} \end{bmatrix}$ હોય,તો $A$ નો શ્રેણિકનો ક્રમ (rank) શોધો.

$AX=O$ દ્વારા દર્શાવેલ ત્રણ અજ્ઞાત ધરાવતી ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સમાંગ પ્રણાલી ધ્યાનમાં લો. જો $X=\left[\begin{array}{c}l \\ m \\ 0\end{array}\right]$, જ્યાં $l \neq 0, m \neq 0, l, m \in \mathbb{R}$, આ પ્રણાલીના અનંત ઉકેલો દર્શાવે છે, તો $A$ નો શ્રેણીક (rank) કેટલો હશે?

જો ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & b & b \\ a & x & b \\ a & a & x \end{array}} \right|$ અને ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & b \\ a & x \end{array}} \right|$ આપેલ નિશ્ચાયકો હોય,તો: