ગણ $S = \{\theta \in [-4\pi, 4\pi] : 3 \cos^2 2\theta + 6 \cos 2\theta - 10 \cos^2 \theta + 5 = 0\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

સમીકરણ $\frac{\sin^3 \theta - \cos^3 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}} - 2 \tan \theta \cot \theta = -1$ ક્યારે સાચું છે?

જો સમીકરણ $\tan^4x - 2\sec^2x + [a]^2 = 0$ ને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય,તો $a$ (જ્યાં $a \in R$) નો સંપૂર્ણ વિસ્તાર શું છે?
(નોંધ: $[k]$ એ $k$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે)

જો $\tanh x = \frac{1}{2}$ હોય,તો $\sinh 2x - \text{sech } 2x = $

કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$S_n: (0, \infty) \rightarrow R$ ને $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \cot^{-1}\left(\frac{1+k(k+1)x^2}{x}\right)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં કોઈપણ $x \in R$ માટે,$\cot^{-1} x \in (0, \pi)$ અને $\tan^{-1} x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $S_{10}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1+11x^2}{10x}\right)$,બધા $x > 0$ માટે
$(B)$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \cot(S_n(x)) = x$,બધા $x > 0$ માટે
$(C)$ સમીકરણ $S_3(x) = \frac{\pi}{4}$ ને $(0, \infty)$ માં એક ઉકેલ છે
$(D)$ $\tan(S_n(x)) \leq \frac{1}{2}$,બધા $n \geq 1$ અને $x > 0$ માટે

જો $\cos \theta - 4 \sin \theta = 1$ હોય,તો $\sin \theta + 4 \cos \theta$ ની કિંમત શોધો.