उन पूर्णांकों k की संख्या जिनके लिए समीकरण x^ | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = x^3 - 27x + k = 0$ है। माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। चूंकि $x^2$ का गुणांक $0$ है,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = 0$

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$2$

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(B) माना $f(x) = x^3 - 27x + k = 0$ है। माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। चूंकि $x^2$ का गुणांक $0$ है,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = 0$ है। यदि दो मूल भिन्न पूर्णांक हैं,तो तीसरा मूल भी एक पूर्णांक होगा।माना मूल $x_1, x_2, x_3$ हैं। तब $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ और $x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = -27$ है। $x_3 = -(x_1 + x_2)$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x_1 x_2 - (x_1 + x_2)^2 = -27$,जो सरल होकर $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = 27$ हो जाता है।यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। हम पूर्णांक हल $(x_1, x_2)$ ज्ञात करते हैं।यदि $x_1 = 3$ है,तो $x_2^2 + 3x_2 - 18 = 0 \Rightarrow (x_2+6)(x_2-3) = 0$। अतः $x_2 = 3$ या $x_2 = -6$। इस स्थिति में $k = 54$ है।यदि $x_1 = -3$ है,तो $x_2^2 - 3x_2 - 18 = 0 \Rightarrow (x_2-6)(x_2+3) = 0$। अतः $x_2 = 6$ या $x_2 = -3$। इस स्थिति में $k = -54$ है।अतः,$k$ के $2$ संभावित मान हैं।

उन पूर्णांकों $k$ की संख्या जिनके लिए समीकरण $x^3-27x+k=0$ के कम से कम दो भिन्न पूर्णांक मूल हैं,है

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