समीकरण $xyz = 3000$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या क्या है?

$10$ छात्रों की एक कक्षा में $3$ लड़कियाँ हैं। उन्हें एक पंक्ति में कितनी अलग-अलग तरह से बैठाया जा सकता है कि तीन में से कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों?

$0, 3, 5, 7$ और $9$ अंकों का उपयोग करके $5$ से विभाज्य कितनी $4$ अंकों की संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

यह मानते हुए कि कोई भी दो क्रमागत अंक समान नहीं हैं,$n$-अंकीय संख्याओं की संख्या है:

एक सीधी रेखा $AB$ पर $m$ बिंदु हैं और दूसरी रेखा $AC$ पर $n$ बिंदु हैं,जिनमें से कोई भी बिंदु $A$ नहीं है। जब $(i)$ $A$ को बाहर रखा जाता है और $(ii)$ $A$ को शामिल किया जाता है,तब इन बिंदुओं से त्रिभुज बनाए जाते हैं। तो दोनों स्थितियों में त्रिभुजों की संख्या का अनुपात क्या है?

$n$ सफेद और $n$ काली गेंदें हैं जिन पर $1, 2, 3, ..., n$ अंकित है। इन गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि पड़ोसी गेंदें अलग-अलग रंगों की हों?