1, 2 और 3 अंकों का उपयोग करके बनाई गई सात अंक | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए सात अंक $x_1, x_2, \dots, x_7$ हैं जहाँ $x_i \in \{1, 2, 3\}$ है।हमें $x_1 + x_2 + \dots + x_7 = 10$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।यह

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$77$

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(C) मान लीजिए सात अंक $x_1, x_2, \dots, x_7$ हैं जहाँ $x_i \in \{1, 2, 3\}$ है।हमें $x_1 + x_2 + \dots + x_7 = 10$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।यह $(x + x^2 + x^3)^7$ में $x^{10}$ का गुणांक ज्ञात करने के बराबर है।$(x + x^2 + x^3)^7 = x^7(1 + x + x^2)^7 = x^7 \left(\frac{1 - x^3}{1 - x}ight)^7 = x^7(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$.हमें $x^7(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$ में $x^{10}$ का गुणांक ज्ञात करना है,जो $(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$ में $x^3$ का गुणांक है।$(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7} = (1 - 7x^3 + \dots)(1 + 7x + \frac{7 	imes 8}{2}x^2 + \frac{7 	imes 8 	imes 9}{6}x^3 + \dots)$.$x^3$ का गुणांक $1 	imes \binom{7+3-1}{3} - 7 	imes 1 = \binom{9}{3} - 7 = 84 - 7 = 77$ है।वैकल्पिक रूप से,अंकों के संभावित सेट:$1, 1, 1, 1, 1, 2, 3$ (योग $= 10$): व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{7!}{5!} = 42$.$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2$ (योग $= 10$): व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{7!}{4!3!} = 35$.कुल $= 42 + 35 = 77$.

$1, 2$ और $3$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई सात अंकों की ऐसी पूर्णांक संख्याओं की संख्या क्या है जिनके अंकों का योग $10$ है?

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