z^3+bar{z}=0 માટે ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે? | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે,$z^3+\bar{z}=0$. ધારો કે $z=x+iy$. સમીકરણમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$. વિસ્તરણ કરતા: $x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^

Vedclass · Accepted Answer

$5$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે,$z^3+\bar{z}=0$. ધારો કે $z=x+iy$. સમીકરણમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$. વિસ્તરણ કરતા: $x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3 + x - iy = 0$. $x^3 + 3x^2yi - 3xy^2 - iy^3 + x - iy = 0$. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $(x^3 - 3xy^2 + x) + i(3x^2y - y^3 - y) = 0$. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $1) x(x^2 - 3y^2 + 1) = 0$ $2) y(3x^2 - y^2 - 1) = 0$ કિસ્સો $1$: જો $x=0$,તો $-y(y^2+1)=0 \Rightarrow y=0$. ઉકેલ: $(0,0)$. કિસ્સો $2$: જો $y=0$,તો $x(x^2+1)=0 \Rightarrow x=0$. ઉકેલ: $(0,0)$. કિસ્સો $3$: જો $x 
eq 0$ અને $y 
eq 0$,તો $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ અને $3x^2 - y^2 - 1 = 0$. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $4x^2 - 4y^2 = 0 \Rightarrow x^2 = y^2$. $x^2 = y^2$ ને $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ માં મૂકતા: $y^2 - 3y^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow 2y^2 = 1$ $\Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. $x^2 = y^2$ હોવાથી,$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. શક્ય જોડીઓ $(x,y)$ એ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે. કુલ ઉકેલો: $(0,0)$ અને ઉપરની $4$ જોડીઓ,આમ કુલ $5$ ઉકેલો મળે છે.

$z^3+\bar{z}=0$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

જો $\alpha$ એ સમીકરણ $x^2+x+1=0$ નું બીજ હોય અને $\sum_{k=1}^n\left(\alpha^k+\frac{1}{\alpha^k}\right)^2=20$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

જો $\left(\frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta}\right)^{2020}+\left(\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta+i \sin \theta}\right)^{2021} = x+i y$ હોય,તો $\theta=\frac{\pi}{2}$ આગળ $x+y$ ની કિંમત શોધો.

જો $z=\alpha+i \beta$ માટે,$|z+2|=z+4(1+i)$ હોય,તો $\alpha+\beta$ અને $\alpha \beta$ એ કયા સમીકરણના બીજ છે?

જો $x = 1 + 2i$ હોય,તો $x^3 + 7x^2 - x + 16$ ની કિંમત શોધો.

જ્યારે $x = \frac{4 + 5i}{2}$ હોય ત્યારે $4x^3 - 4x^2 - 7x + 127$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module