$z^3+\bar{z}=0$ के लिए हलों की संख्या है

यदि $f(x)$ परिमेय गुणांकों वाला $n$ घात का एक बहुपद है और $1+2i, 2-\sqrt{3}$ तथा $5$ इसके तीन मूल हैं,तो $n$ का न्यूनतम मान क्या है?

धनात्मक पूर्णांकों $n_1, n_2$ के लिए, व्यंजक $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$, जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है, एक वास्तविक संख्या है यदि और केवल यदि:

यदि समीकरण $x^{2}+bx+45=0$ $(b \in R)$ के मूल सम्मिश्र संयुग्मी हैं और वे $|z+1|=2\sqrt{10}$ को संतुष्ट करते हैं,तो

यदि $\theta \in \mathbb{R}$ और $\frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta}$ एक वास्तविक संख्या है, तो $\theta$ होगा (जहाँ $I$ पूर्णांकों का समुच्चय है):

$|z|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जहाँ $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जो असमिका $\exp \left(\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \log _{ e } 2\right) \geq \log _{\sqrt{2}}|5 \sqrt{7}+9 i |$ को संतुष्ट करती है,जहाँ $i=\sqrt{-1}$ है।