|z| का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जहाँ z एक सम्म | vedclass

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Question

(A) दी गई असमिका: $\exp \left(\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \ln 2\right) \geq \log _{\sqrt{2}}|5 \sqrt{7}+9 i |$सबसे पहले,दाईं ओर को सरल करने पर: $|5 \

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$3$

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(A) दी गई असमिका: $\exp \left(\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \ln 2\right) \geq \log _{\sqrt{2}}|5 \sqrt{7}+9 i |$सबसे पहले,दाईं ओर को सरल करने पर: $|5 \sqrt{7}+9 i| = \sqrt{(5 \sqrt{7})^2 + 9^2} = \sqrt{175 + 81} = \sqrt{256} = 16$.अतः,$\log _{\sqrt{2}}(16) = \log _{2^{1/2}}(2^4) = 8 \log _{2}(2) = 8$.अब,असमिका इस प्रकार है: $2^{\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1}} \geq 8$.चूँकि $8 = 2^3$,इसलिए: $\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \geq 3$.मान लीजिए $x = |z|$,जहाँ $x \geq 0$ है। तो $\frac{(x+3)(x-1)}{x+1} \geq 3$.$(x^2 + 2x - 3) \geq 3(x+1)$.$x^2 + 2x - 3 \geq 3x + 3$.$x^2 - x - 6 \geq 0$.$(x-3)(x+2) \geq 0$.चूँकि $x = |z| \geq 0$,$x+2$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए $x-3 \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $|z| \geq 3$.अतः,$|z|$ का न्यूनतम मान $3$ है।

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माना $z_1$ और $z_2$ कोई दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि $3|z_1| = 4|z_2|$। यदि $z = \frac{3z_1}{2z_2} + \frac{2z_2}{3z_1}$ है,तो:

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