यदि $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जो $|z|^2 - |z| - 2 < 0$ को संतुष्ट करती है,तो $\theta$ के सभी मानों के लिए $|z^2 + z \sin \theta|$ का मान है

यदि $i=\sqrt{-1}$ है,तो $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{3}\right)^n=$

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: किन्हीं दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए,
$(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)$
कथन $II$: यदि $x, y, z$ तीन भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और $a, b, c$ तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,जैसे कि $\frac{a}{|y-z|}=\frac{b}{|z-x|}=\frac{c}{|x-y|}$,तो
$\frac{a^2}{y-z}+\frac{b^2}{z-x}+\frac{c^2}{x-y}=1$
उपरोक्त दो कथनों के बीच,

यदि $(x+iy)^{3}=u+iv$ है,तो सिद्ध कीजिए कि: $\frac{u}{x}+\frac{v}{y}=4(x^{2}-y^{2})$

मान लीजिए $A = \{\theta \in [0, 2\pi] : 1 + 10 \operatorname{Re}\left(\frac{2 \cos \theta + i \sin \theta}{\cos \theta - 3i \sin \theta}\right) = 0\}$ है। तो $\sum_{\theta \in A} \theta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $2i$,$f(z) = z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8 = 0$ का एक मूल है,तो निम्नलिखित में से कौन $f(z) = 0$ का मूल नहीं हो सकता है?