मान लीजिए A = {theta in [0, 2pi] : 1 + 10 ope | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $1 + 10 \operatorname{Re}\left(\frac{2 \cos 	heta + i \sin 	heta}{\cos 	heta - 3i \sin 	heta}ight) = 0$ है। अंश और हर को हर

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$\frac{21}{4} \pi^2$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण $1 + 10 \operatorname{Re}\left(\frac{2 \cos 	heta + i \sin 	heta}{\cos 	heta - 3i \sin 	heta}ight) = 0$ है। अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\cos 	heta + 3i \sin 	heta)$ से गुणा करने पर: $\frac{(2 \cos 	heta + i \sin 	heta)(\cos 	heta + 3i \sin 	heta)}{\cos^2 	heta + 9 \sin^2 	heta} = \frac{2 \cos^2 	heta + 6i \cos 	heta \sin 	heta + i \sin 	heta \cos 	heta - 3 \sin^2 	heta}{\cos^2 	heta + 9 \sin^2 	heta} = \frac{(2 \cos^2 	heta - 3 \sin^2 	heta) + i(7 \sin 	heta \cos 	heta)}{\cos^2 	heta + 9 \sin^2 	heta}$. वास्तविक भाग $\frac{2 \cos^2 	heta - 3 \sin^2 	heta}{\cos^2 	heta + 9 \sin^2 	heta}$ है। इस मान को मूल समीकरण में रखने पर: $1 + 10 \left(\frac{2 \cos^2 	heta - 3 \sin^2 	heta}{\cos^2 	heta + 9 \sin^2 	heta}ight) = 0$. $\frac{\cos^2 	heta + 9 \sin^2 	heta + 20 \cos^2 	heta - 30 \sin^2 	heta}{\cos^2 	heta + 9 \sin^2 	heta} = 0$. $21 \cos^2 	heta - 21 \sin^2 	heta = 0 \implies 21 \cos(2	heta) = 0$. अतः, $\cos(2	heta) = 0$, जिसका अर्थ है $2	heta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$. इसलिए, $	heta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$. अब $\sum 	heta^2 = \left(\frac{\pi}{4}ight)^2 + \left(\frac{3\pi}{4}ight)^2 + \left(\frac{5\pi}{4}ight)^2 + \left(\frac{7\pi}{4}ight)^2 = \frac{\pi^2}{16}(1 + 9 + 25 + 49) = \frac{84 \pi^2}{16} = \frac{21 \pi^2}{4}$.

मान लीजिए $A = \{\theta \in [0, 2\pi] : 1 + 10 \operatorname{Re}\left(\frac{2 \cos \theta + i \sin \theta}{\cos \theta - 3i \sin \theta}\right) = 0\}$ है। तो $\sum_{\theta \in A} \theta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $z_1$ और $z_2$ ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि $\frac{2 z_1}{3 z_2}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है, तो $\left|\frac{z_1-z_2}{z_1+z_2}\right|$ का मान है

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