एक रेखा पर $5$ बिंदुओं और एक समांतर रेखा पर $3$ बिंदुओं द्वारा बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या है

$HOSTEL$ से $ALLEN$ तक के सबसे छोटे रास्तों की संख्या (दी गई आकृति में दिखाए अनुसार) कितनी है?

यदि शब्द $SMALL$ के अक्षरों का उपयोग करके पाँच अक्षरों वाले सभी शब्द (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) बनाए जाते हैं और उन्हें शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है,तो शब्द $SMALL$ का स्थान क्या होगा?

$\sum_{r=1}^{5} C(5, r)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$15$ अलग-अलग पुस्तकों को $3$ सेट या समूहों में समान रूप से कितने तरीकों से विभाजित किया जा सकता है?

$n$ पुस्तकों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि दो विशिष्ट पुस्तकें एक साथ न हों?