^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण $^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $^{69}C_{3r-

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$2$

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(B) दिया गया समीकरण $^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $^{69}C_{3r-1} + ^{69}C_{3r} = ^{69}C_{r^2} + ^{69}C_{r^2-1}$.पास्कल के सर्वसमिका $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर,समीकरण बनता है: $^{70}C_{3r} = ^{70}C_{r^2}$.इसका अर्थ है कि या तो $3r = r^2$ या $3r + r^2 = 70$ है।स्थिति $1$: $r^2 - 3r = 0 \Rightarrow r(r-3) = 0$,इसलिए $r = 0$ या $r = 3$ है।स्थिति $2$: $r^2 + 3r - 70 = 0 \Rightarrow (r+10)(r-7) = 0$,इसलिए $r = -10$ या $r = 7$ है।चूंकि संचय $^{n}C_{k}$ में निचला अंक $k$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए और $0 \le k \le n$,हम $r$ की वैधता की जांच करते हैं:$r=0$ के लिए,$3r-1 = -1$ (मान्य नहीं है)।$r=3$ के लिए,$3r-1=8, 3r=9, r^2=9, r^2-1=8$ (सभी मान्य हैं)।$r=-10$ के लिए,$3r-1 = -31$ (मान्य नहीं है)।$r=7$ के लिए,$3r-1=20, 3r=21, r^2=49, r^2-1=48$ (सभी मान्य हैं)।अतः,$r$ के लिए मान्य मान $3$ और $7$ हैं।ऐसे मानों की संख्या $2$ है।

$^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ को संतुष्ट करने वाले $r$ के मानों की संख्या है:

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