$n \in N$ के उन मानों की संख्या जिनके लिए ${ }^{n+2} C_2 : { }^{n+3} C_1 = 4 : 2$ है,है

$1, 2, 3, 4, \dots, 200$ संख्याओं से सभी संभावित दो-कारक गुणनफल बनाए जाते हैं। प्राप्त कुल गुणनफलों में से $5$ के गुणज वाले गुणनफलों की संख्या क्या है?

$2$ महिलाओं,$2$ वृद्ध पुरुषों और $4$ युवा पुरुषों में से $4$ व्यक्तियों की एक समिति इस प्रकार बनाई जानी है कि इसमें कम से कम $1$ महिला,कम से कम $1$ वृद्ध पुरुष और अधिकतम $2$ युवा पुरुष हों। तो इस समिति को बनाने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

$A, B, \dots, J$ नाम के $10$ व्यक्ति हैं। हमारे पास केवल $5$ व्यक्तियों को रखने की जगह है। यदि $A$ को शामिल करना अनिवार्य है और $G$ तथा $H$ को $5$ के समूह में शामिल नहीं करना है,तो हम इस समूह को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?

$10$ व्यक्ति दो नावों में इस प्रकार जाते हैं कि प्रत्येक नाव में $5$ व्यक्ति हों,यह मानते हुए कि दो विशेष व्यक्ति एक ही नाव में नहीं जाएंगे,तो तरीकों की संख्या क्या है?

एक छात्र को परीक्षा में $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,इस प्रकार कि उसे पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्न चुनने होंगे। उसके पास उपलब्ध विकल्पों की संख्या है