a और L के मानों वाला विकल्प(विकल्प) जो निम्नल | vedclass

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Question

(A) माना $f(t) = e^t(\sin^6 at + \cos^4 at)$ है। हम देखते हैं कि $a=2$ और $a=4$ के लिए,फलन $f(t)$ समीकरण $f(t+\pi) = e^{t+\pi}(\sin^6 a(t+\pi) + \cos^

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$(A, C)$

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(A) माना $f(t) = e^t(\sin^6 at + \cos^4 at)$ है। हम देखते हैं कि $a=2$ और $a=4$ के लिए,फलन $f(t)$ समीकरण $f(t+\pi) = e^{t+\pi}(\sin^6 a(t+\pi) + \cos^4 a(t+\pi)) = e^{\pi} e^t(\sin^6 at + \cos^4 at) = e^{\pi} f(t)$ को संतुष्ट करता है,क्योंकि सम पूर्णांक $a$ के लिए $\sin(a(t+\pi)) = \sin(at)$ और $\cos(a(t+\pi)) = \cos(at)$ होता है।माना $I_k = \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(t) dt$ है। तब $I_{k+1} = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t) dt$ है। $t = u + \pi$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{k+1} = \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(u+\pi) du = e^{\pi} \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(u) du = e^{\pi} I_k$ प्राप्त होता है।अतः,$I_1 = A$,$I_2 = e^{\pi} A$,$I_3 = e^{2\pi} A$,और $I_4 = e^{3\pi} A$ है,जहाँ $A = \int_0^{\pi} f(t) dt$ है।अंश $\int_0^{4\pi} f(t) dt = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = A(1 + e^{\pi} + e^{2\pi} + e^{3\pi}) = A \frac{e^{4\pi}-1}{e^{\pi}-1}$ है।इसलिए,$L = \frac{A \frac{e^{4\pi}-1}{e^{\pi}-1}}{A} = \frac{e^{4\pi}-1}{e^{\pi}-1}$ है।यह $a=2$ और $a=4$ दोनों के लिए सत्य है। अतः,विकल्प $(A)$ और $(C)$ सही हैं।

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