सरल रेखाओं के युग्म को समीकरण $3dx^2 - 5xy + (d^2 - 2)y^2 = 0$ द्वारा दर्शाया गया है। यदि रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो $d$ के कितने मानों के लिए यह शर्त पूरी होगी?

एक वृत्त के दो व्यासों का संयुक्त समीकरण जो वृत्त को $4$ त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है,$ax^2+2hxy+by^2=0$ है। यदि बड़े त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल छोटे त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का $5$ गुना है,तो $\frac{|a+b|}{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}} = $

यदि $(x^2+y^2) \cos^2 \theta = (x \cos \theta + y \sin \theta)^2$ द्वारा दी गई रेखाओं का युग्म एक-दूसरे के लंबवत है,तो $\theta$ का मान क्या होगा?

रेखाओं का युग्म $l x^2 + 2(l+m) x y + m y^2 = 0$ एक वृत्त के दो व्यासों पर स्थित है और वृत्त को $4$ त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है। यदि बड़े त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल छोटे त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का $5$ गुना है,तो $\frac{l m}{(l+m)^2} = $

List-$I$ में रेखाओं के चार अलग-अलग युग्म दिए गए हैं और List-$II$ में रेखाओं के प्रत्येक युग्म के बीच के कोण का कोसाइन दिया गया है। निम्नलिखित का मिलान करें:

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $5x^2 + 2\sqrt{7}xy - y^2 = 0$	$(I)$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$(B)$ $x^2 + \sqrt{11}xy + 2y^2 = 0$	$(II)$ $\frac{1}{2\sqrt{3}}$
$(C)$ $x^2 + 2\sqrt{2}xy + y^2 = 0$	$(III)$ $\frac{1}{2}$
$(D)$ $3x^2 + 4\sqrt{2}xy + y^2 = 0$	$(IV)$ $\frac{2}{3}$
	$(V)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$

सही मिलान है:

$ax^2 + xy + by^2 = 0$ समीकरण द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का कोण $45^\circ$ होगा,यदि