जब x=e, y=e^2 हो,तब अवकल समीकरण y(1+log x) fr | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$. चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{1+\log x}{x \log x} dx$. दोनों पक्षों का

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$y=e x \log x$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$. चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{1+\log x}{x \log x} dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{1+\log x}{x \log x} dx$. माना $u = \log x$,तब $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन करने पर: $\int \frac{1+u}{u} du = \int (\frac{1}{u} + 1) du = \log |u| + u + C$. मान प्रतिस्थापित करने पर: $\log |y| = \log |\log x| + \log x + C$. $x=e, y=e^2$ रखने पर: $\log |e^2| = \log |\log e| + \log e + C \Rightarrow 2 = \log(1) + 1 + C \Rightarrow 2 = 0 + 1 + C \Rightarrow C = 1$. अतः,$\log |y| = \log |\log x| + \log x + 1$. चूंकि $1 = \log e$,इसलिए $\log |y| = \log |\log x| + \log x + \log e = \log |e \log x \cdot x|$. अतः,$y = ex \log x$.

जब $x=e, y=e^2$ हो,तब अवकल समीकरण $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} - x \log x = 0$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

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