બિંદુ P(-2 sqrt{6}, sqrt{3}) એ અતિવલય frac{x^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.આપણે જાણીએ છીએ કે $b^{2} = a^{2}(e^{2}-1) = a

Vedclass · Accepted Answer

$6 \sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.આપણે જાણીએ છીએ કે $b^{2} = a^{2}(e^{2}-1) = a^{2}(\frac{5}{4}-1) = \frac{a^{2}}{4}$,તેથી $a^{2} = 4b^{2}$.બિંદુ $P(-2 \sqrt{6}, \sqrt{3})$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{(-2 \sqrt{6})^{2}}{4b^{2}} - \frac{(\sqrt{3})^{2}}{b^{2}} = 1$.$\frac{24}{4b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{6}{b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 3$,તેથી $b = \sqrt{3}$ અને $a^{2} = 12$,તેથી $a = 2 \sqrt{3}$.અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ છે.$P(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_{1}}{a^{2}} - \frac{yy_{1}}{b^{2}} = 1$ છે.$\frac{x(-2 \sqrt{6})}{12} - \frac{y(\sqrt{3})}{3} = 1 \Rightarrow -\frac{x \sqrt{6}}{6} - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$.અનુબદ્ધ અક્ષ માટે,$x = 0$ લેતા: $-\frac{y}{\sqrt{3}} = 1 \Rightarrow y = -\sqrt{3}$. આમ $Q = (0, -\sqrt{3})$.સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}} = \frac{3(-2 \sqrt{6})}{12(\sqrt{3})} = \frac{-6 \sqrt{6}}{12 \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.અભિલંબનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = \sqrt{2}$.$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - \sqrt{3} = \sqrt{2}(x + 2 \sqrt{6})$ છે.અનુબદ્ધ અક્ષ માટે,$x = 0$ લેતા: $y - \sqrt{3} = \sqrt{2}(2 \sqrt{6}) = 2 \sqrt{12} = 4 \sqrt{3}$.$y = 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$. આમ $R = (0, 5 \sqrt{3})$.અંતર $QR = |5 \sqrt{3} - (-\sqrt{3})| = |6 \sqrt{3}| = 6 \sqrt{3}$.

Similar Questions

$16x^2 - 9y^2 - 32x - 36y - 164 = 0$ ના સંયુગ્મી અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

અતિવલય $x^2 \sec^2 \theta - y^2 \csc^2 \theta = 1$ માટે,જ્યારે $\theta$ બદલાય ત્યારે નીચેનામાંથી શું અચળ રહે છે?

સીધી રેખા $2x - y = 0$ ને સમાંતર એક રેખા અતિવલય $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ને બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ પર સ્પર્શે છે. તો $x_{1}^{2} + 5y_{1}^{2}$ ની કિંમત શોધો.

લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત શું થાય?

અતિવલય $xy = a^2$ ના સ્પર્શક અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module