परवलय $y^2 = 4x$ पर स्थित वह बिंदु/बिंदुएं जो वृत्त $x^2 + y^2 - 24y + 128 = 0$ के सबसे निकट हैं,हैं:

वक्रों $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ और $C_{2}: \frac{x^{2}}{42}-\frac{y^{2}}{143}=1$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $T$ चौथे चतुर्थांश से होकर नहीं गुजरती है। यदि $T$,$C_{1}$ को $(x_{1}, y_{1})$ पर और $C_{2}$ को $(x_{2}, y_{2})$ पर स्पर्श करती है,तो $|2x_{1} + x_{2}|$ का मान $......$ है।

स्तंभ-$I$ के शांकवों को स्तंभ-$II$ के कथनों/व्यंजकों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$A$. वृत्त	$P$. बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ जिसके लिए रेखा $hx + ky = 1$ वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ को स्पर्श करती है
$B$. परवलय	$Q$. सम्मिश्र तल में बिंदु $z$,$|z + 2| - |z - 2| = \pm 3$ को संतुष्ट करता है
$C$. अतिपरवलय	$R$. शांकव की उत्केंद्रता अंतराल $[1, \infty)$ में स्थित है
	$S$. सम्मिश्र तल में बिंदु $z$,$Re(z + 1)^2 = |z|^2 + 1$ को संतुष्ट करता है

यदि बिंदु $(\alpha, \beta)$ जो दीर्घवृत्त $25x^{2} + 4y^{2} = 1$ पर स्थित है,से परवलय $y^{2} = 4x$ पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएं इस प्रकार हैं कि एक स्पर्श रेखा का ढाल दूसरी का चार गुना है,तो $(10\alpha + 5)^{2} + (16\beta^{2} + 50)^{2}$ का मान क्या होगा?

यदि वक्र $y^2 = 6x$ और $9x^2 + by^2 = 16$ एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं,तो $b$ का मान ज्ञात कीजिए।

वक्र $x^2 - y^2 = 5$ और $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ किसी उभयनिष्ठ बिंदु पर किस कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं?