જે બિંદુએ $10x + 6y$ ની મહત્તમ કિંમત,શરતો $x + y \leq 12$,$2x + y \leq 20$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ ને આધીન મળે છે,તે બિંદુ કયું છે?

નીચેની આકૃતિમાં છાયાંકિત વિસ્તાર એ અમુક રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા માટેનો ઉકેલ સેટ છે. રેખીય અવરોધો નીચે મુજબ આપવામાં આવ્યા છે:

અસમતાઓ $x+2y \leq 2000$,$x+y \leq 1500$,$y \leq 600$ અને $x \geq 0$ ના ઉકેલ ગણમાં કયો બિંદુનો સમાવેશ થતો નથી?

નીચે આપેલા છાયાંકિત પ્રદેશ માટે,સુરેખ અવરોધો કયા છે?

એક ઉત્પાદક નટ અને બોલ્ટનું ઉત્પાદન કરે છે. નટના એક પેકેજનું ઉત્પાદન કરવા માટે મશીન $A$ પર $1\, \text{કલાક}$ અને મશીન $B$ પર $3\, \text{કલાક}$ કામ લાગે છે. બોલ્ટના એક પેકેજનું ઉત્પાદન કરવા માટે મશીન $A$ પર $3\, \text{કલાક}$ અને મશીન $B$ પર $1\, \text{કલાક}$ કામ લાગે છે. તે નટના પેકેજ દીઠ $Rs.\,17.50$ અને બોલ્ટના પેકેજ દીઠ $Rs.\,7$ નફો મેળવે છે. જો તે તેના મશીનોને દિવસમાં વધુમાં વધુ $12\, \text{કલાક}$ ચલાવે,તો મહત્તમ નફો મેળવવા માટે દરરોજ દરેકના કેટલા પેકેજનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ?

એક ફેક્ટરી બે પ્રકારના સ્ક્રૂ, $A$ અને $B$ બનાવે છે. દરેક પ્રકારના સ્ક્રૂ માટે બે મશીનોનો ઉપયોગ જરૂરી છે, એક ઓટોમેટિક અને એક હાથથી ચાલતું. સ્ક્રૂ $A$ નું એક પેકેજ બનાવવા માટે ઓટોમેટિક મશીન પર $4 \, \text{મિનિટ}$ અને હાથથી ચાલતા મશીન પર $6 \, \text{મિનિટ}$ લાગે છે, જ્યારે સ્ક્રૂ $B$ નું એક પેકેજ બનાવવા માટે ઓટોમેટિક મશીન પર $6 \, \text{મિનિટ}$ અને હાથથી ચાલતા મશીન પર $3 \, \text{મિનિટ}$ લાગે છે. દરેક મશીન કોઈપણ દિવસે વધુમાં વધુ $4 \, \text{કલાક}$ માટે ઉપલબ્ધ છે. ઉત્પાદક સ્ક્રૂ $A$ ના પેકેજ પર $Rs. \, 7$ અને સ્ક્રૂ $B$ ના પેકેજ પર $Rs. \, 10$ નો નફો મેળવી શકે છે. તે જે પણ સ્ક્રૂ બનાવે છે તે બધા વેચી શકે છે તેમ માનીને, ફેક્ટરીના માલિકે તેનો નફો મહત્તમ કરવા માટે દિવસમાં દરેક પ્રકારના કેટલા પેકેજ બનાવવા જોઈએ? મહત્તમ નફો નક્કી કરો.