અતિવલય $5x^2 - 9y^2 = 45$ ને સ્પર્શક $y = x + 2$ નું સ્પર્શબિંદુ કયું છે?

$x - y = 0$,$x + y = 0$ રેખાઓ અને અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ ના કોઈપણ સ્પર્શક દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

ધારો કે $A(\sec \theta, 2 \tan \theta)$ અને $B(\sec \phi, 2 \tan \phi)$,જ્યાં $\theta+\phi=\pi/2$,એ અતિવલય $2x^2-y^2=2$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(\alpha, \beta)$ એ $A$ અને $B$ આગળના અતિવલયના અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય,તો $(2\beta)^2$ ની કિંમત ..... થાય.

વર્તુળ $x^2 + y^2 = 10$ ની અંદરના એવા પૂર્ણાંક બિંદુઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા શોધો કે જ્યાંથી વક્ર $\sqrt{(x + 5\sqrt{2})^2 + y^2} - \sqrt{(x - 5\sqrt{2})^2 + y^2} = 10$ પર માત્ર એક જ વાસ્તવિક સ્પર્શક દોરી શકાય (જ્યાં પૂર્ણાંક બિંદુ $(x, y)$ એટલે $x, y \in \mathbb{Z}$):

જો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા, જે $(6, 4\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે, તે $15(e^2 + 1) = 34e$ નું સમાધાન કરે છે, તો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2(a^2 + 1)} = 1$ ના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી થાય?

અતિવલય $\frac{x^{2}}{\cos^{2} \alpha} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} \alpha} = 1$ માટે, જ્યારે $\alpha$ બદલાય ત્યારે નીચેનામાંથી શું નિશ્ચિત રહે છે?